Big O Notation

Big O notatsiyasi – bu algoritm yoki dasturiy kodning ishlash samaradorligini o'lchash uchun ishlatiladigan matematik ifoda.

Big O Notatsiyasi: Algoritmlarning Ishlash Samaradorligini Baholash

Asosiy Tushunchalar

1. Vaqt murakkabligi (Time Complexity): Algoritm qancha vaqt oladi. Bu ko'pincha kiruvchi ma'lumotlar hajmi (n) bilan o'lchanadi.
2. Xotira murakkabligi (Space Complexity): Algoritm qancha xotira talab qiladi.

Big O Notatsiyasi Nima?

Big-O notatsiyasi, ko'pincha "Order of" (daraja) deb ham ataladi, algoritmning vaqt yoki xotira murakkabligini eng yomon holatda yuqori chegarasini ifodalaydigan matematik ifodadir. Bu O(f(n)) shaklida ifodalanadi, bu yerda f(n) algoritmning kirish ma'lumotlari hajmi n ga nisbatan qancha operatsiya bajarishini bildiradi.

Big O Notatsiyasi Nima uchun Muhim?

Big O notatsiyasi quyidagilar uchun muhim:

• Samaradorlikni Tahlil Qilish: U turli algoritmlarni ularning ishlashi asosida solishtirishga yordam beradi.
• Masshtablilikni Tushunish: Kirish ma'lumotlari hajmi oshgani sari algoritmlarning qanday ishlashini oldindan bilish imkonini beradi.
• Kodni Optimallashtirish: U dasturchilarga kod samaradorligini oshirishda yo‘l-yo‘riq ko‘rsatadi.

Big O Notatsiyasining Xususiyatlari

1. Refleksivlik: Har qanday f(n) funktsiya uchun f(n) = O(f(n)) bo'ladi.
2. Tranzitivlik: Agar f(n) = O(g(n)) va g(n) = O(h(n)) bo'lsa, f(n) = O(h(n)) bo'ladi.
3. Doimiy Ko'rsatkich: Agar f(n) = O(g(n)) bo'lsa, har qanday c > 0 doimiy uchun cf(n) = O(g(n)) bo'ladi.
4. Yig'indi Qoidasi: Agar f(n) = O(g(n)) va h(n) = O(g(n)) bo'lsa, f(n) + h(n) = O(g(n)) bo'ladi.
5. Ko'paytma Qoidasi: Agar f(n) = O(g(n)) va h(n) = O(k(n)), f(n) _ h(n) = O(g(n) _ k(n)) bo'ladi.
6. Kompozitsiya Qoidasi: Agar f(n) = O(g(n)) va g(n) = O(h(n)) bo'lsa, f(g(n)) = O(h(n)) bo'ladi.

Umumiy Big O Notatsiyalar

• O(1) – Doimiy Vaqt Murakkabligi: Algoritmning bajarilish vaqti ma'lumotlar hajmidan qat'i nazar o'zgarmaydi.
  • Misol: Birinchi elementni olish (arr[0]).
• O(n) – Chiziqli Vaqt Murakkabligi: Algoritmning bajarilish vaqti ma'lumotlar hajmiga to'g'ri proporsional oshadi.
  • Misol: Massivning barcha elementlarini yig'ish.
• O(n²) – Kvadratik Vaqt Murakkabligi: Algoritmning bajarilish vaqti ma'lumotlar hajmining kvadratiga bog'liq.
  • Misol: Ikki massivni taqqoslash (nested loop).
• O(log n) – Logaritmik Vaqt Murakkabligi: Algoritmning bajarilish vaqti logaritmik tarzda oshadi. Bu odatda ma'lumotlarni bo'lish orqali erishiladi.
  • Misol: Ikkilik Qidiruv (Binary Search).
• O(n log n) – Linearithmic Vaqt Murakkabligi: Bu murakkablik darajasi ba'zi saralash algoritmlarida paydo bo'ladi, masalan, Merge Sort.
  • Misol: Merge Sort, Quick Sort (eng yaxshi holatda).

Big O Notatsiyasini Aniqlash Usullari

1. Asosiy Tushunchani Aniqlash: Eng katta o'sish tezligiga ega bo'lgan tushunchani toping.
2. O'sish Darajasini Aniqlash: Eng yuqori darajadagi tushuncha Big O ni belgilaydi.
3. Big O Notatsiyasini Yozish: Uni O(f(n)) shaklida ifodalang.
4. Oddiylashtirish (agar kerak bo'lsa): Doimiy omillar va pastroq darajadagi tushunchalarni olib tashlang.

Misollar

• Chiziqli Qidiruv (Linear Search): O(n)
• Ikkilik Qidiruv (Binary Search): O(log n)
• Pufakchali Saralash (Bubble Sort): O(n^2)
• Matritsalarni Ko'paytirish (Matrix Multiplication): O(n^3)
• To'plamlar Yaratish (Generating Subsets): O(2^n)
• Permutatsiyalar (Permutations): O(n!)

Big O, Ω (Omega) va θ (Theta) Notatsiyalarini Taqqoslash

• Big O (O): Eng yomon holatni ifodalaydi.
• Ω (Omega): Eng yaxshi holatni ifodalaydi.
• θ (Theta): Yuqori va pastki chegaralarni birgalikda ifodalaydi.

Note: Ushbu notatsiyalarni tushunish algoritmlarning ishlashini oldindan bilish va ularni optimallashtirish uchun juda muhimdir. Dasturchilar Big O notatsiyasidan foydalanib, algoritmlarini qanchalik samarali ekanligini baholashlari va turli xil algoritmlar orasida tanlov qilishlari mumkin.

Conclusion

Algoritmlarni baholashda Big O notatsiyasi katta ma'lumotlar miqdorini qayta ishlash imkoniyatini beradi.